Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат

В.Кинетические Характеристики

§ 6. Кинетическое уравнение

Носители заряда в металле либо полупроводнике могут подвергаться действию наружных полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас заинтересовывают такие ситуации, в каких электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет лишниие энергию и импульс Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат. В этой главе мы разглядим «обычные» кинетические характеристики, наблюдаемые при наложении неизменных полей.

Общий способ решения этой задачки основан на кинетическом уравнении, либо уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk (r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в округи точки r. Строго говоря, данную величину можно найти исключительно в Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат определениях тонкодисперсных рассредотачиваний, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется широкая литература по этому вопросу, но она относится быстрее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Поглядим сейчас, какими методами функция fk (r) может изменяться во времени. Вероятны процессы 3-х типов Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат:

1. Носители заряда приходят в область места поблизости точки r и уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь t vk . Как следует, на основании аксиомы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в округи точки Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат r в момент времени t равно числу их в округи точки r – t vk в момент времени 0:

fk (r, t ) = fk (r – t vk , 0). (35)

Это значит, что скорость конфигурации функции рассредотачивания из-за диффузии есть

¶fk /¶t ]diff = – vk ׶fk /¶r = – vk ×Ñfk . (36)

2. Наружные поля вызывают изменение волнового вектора k каждого Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат носителя, согласно равенству

(37)

Величину можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

(38)

как следует, под действием полей функция рассредотачивания изменяется со скоростью

(39)

(мы использовали тут обозначение ¶fk /¶k для градиента в k-пространстве — оператора Ñk ).

3. Воздействие процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат ограничимся тут в главном упругим рассеянием. При всем этом функция fk изменяется со скоростью

¶fk /¶t ]scatt = ∫{ fk' (1 – fk ) – fk (l – fk' )}Q(k, k') dk'. (40)

Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению fk . Возможность этого процесса находится в зависимости от величины fk — числа носителей Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат в состоянии k, и от разности (1 – fk ' ) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также оборотный процесс, переход из k' в k, который ведет к повышению функции fk ; он пропорционален величине fk ' (1 – fk ). Разумеется, нужно просуммировать по различным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, но, «собственная» возможность перехода Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат Q (k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k на сто процентов заполнено, а состояние k' свободно. Согласно принципу микроскопичной обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k' в k, потому под интегралом возникает общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает последующее: для хоть Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат какой точки r и для хоть какого значения k полная скорость конфигурации функции fk (r) равна нулю, т. е.

¶fk /¶t ]scatt + ¶fk /¶t ]field + ¶fk /¶t ]diff = 0. (41)

Отметим, что тут рассматривается стационарное, но не непременно сбалансированное состояние. Для последнего функция рассредотачивания обозначается через f0 k , оно осуществляется исключительно в Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, но, что рассматриваемое стационарное рассредотачивание не очень очень отличается от сбалансированного.
Положим

gk = fk – f0 k . (42)


где

f0 k = 1/{exp[(E k – z)/kT] + 1} (43)

Тут необходимо проявить некую осторожность. Конкретно, как найти функцию f0 k в случае, когда температура находится в зависимости от координат? Будем считать, что Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат в каждой точке можно корректно найти локальную температуру T(r), и положим

gk(r)=fk (r) – f0 k {3T(r)}. (44)

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно востребовать, чтоб окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, к примеру

ògk (r)dk = 0. (45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат (7.2) и (7.5), получаем

– vk ׶fk /¶r – e /ħ(E + 1/c[vk ´ H]) ׶fk /¶k = – ¶fk /¶t]scatt , (46)

либо

– vk ׶fk /¶T ÑT – e /ħ(E + 1/c[vk ´ H]) ׶ f0 k /¶k = – ¶fk /¶t]scatt + vk ׶gk /¶r + e /ħ(E + 1/c[vk ´ H]) ׶gk /¶k. (47)

При помощи формулы (43) это уравнение можно переписать в виде

(¶f Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат0 /¶E)vk ×{( E (k) – z) / T×ÑT + e (E – 1/e×Ñz)} = – ¶fk /¶t]scatt + vk ׶gk /¶r + e /ħc[vk ´ H] ׶gk /¶k. (48)

Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E׶gk /¶k) порядка E2 , соответственный отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат [vk ´ H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле очевидно не заходит.

Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» gk (r) к функции рассредотачивания. Функция gk (r) определяется интенсивностью электронного поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат части. Дальше в этой главе мы будем искать решения кинетического уравнения для разных случаев в порядке роста трудности.

§ 7. Электропроводность

Пусть на систему наложено только электронное поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается неизменная температура. С учетом выражения (40) получаем

(– ¶f0 /¶E)vk ×eE = – (¶f0 /¶t)]scatt = ò(fk – fk ¢ )Q Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат(k,k¢)dk¢= ò(gk – gk ¢ )Q(k,k¢)dk¢ (49)

Это есть обычное интегральное уравнение для неведомой функции gk .

Заместо того чтоб, конкретно решать его, создадим феноменологическое предположение:

– ¶fk /¶t]scatt = gk /t (50)

Тем мы вводим время релаксации t. При выключении поля хоть какое отклонение gk Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат от сбалансированного рассредотачивания будет затухать по закону

– ¶gk /¶t = gk /t, (51)

либо

gk (t) = gk (0)e – t / t . (52)

Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим

gk = (– ¶f0 /¶E) tvk ×eE (53)

Чтоб отыскать электропроводность, вычислим подобающую плотность тока

(54)

Тут при переходе от первой строчки ко 2-ой принято во внимание, что

òf0 k evk (r)dk º 0,

применены также Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат формулы для преобразования большого интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.

В металле функция (– ¶f0 /¶E) ведет себя как d-функция от (E – z), потому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким макаром,

(55)

Сравним это выражение с обыкновенной макроскопической формулой

J = s×E, (56)


где Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат s – тензор. Получим

(57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при всем этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J ориентированы по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть

(vk vk × E) = v2 x E, (58)


что дает 1/3 вклада от квадрата скорости Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат, v2 E. Потому

(59)

где мы ввели длину свободного пробега

L = tv. (60)

Это есть основная формула для электропроводности.

Любопытно поглядеть (фиг. 97), как смотрится функция рассредотачивания fk , данная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция gk велика только поблизости поверхности Ферми.

Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное рассредотачивание Ферми.

Маленькая добавка возникает с той Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат стороны, где vk ×eE>0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с обратной стороны.

Практически по аксиоме Тейлора можно написать

(61)

Это смотрится так, будто бы вся сфера Ферми двинулась в k-пpoстранстве на величину (et/ħ)E. Это несколько неправильная интерпретация. В реальности поле не Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат действует на состояния поблизости дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.

Отметим, но, что электропроводность не находится в зависимости от температуры (если не считать вероятной температурной зависимости t). Эта Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат же формула справедлива при T = 0, когда рассредотачивание Ферми имеет совсем четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми.

Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде

fk = f0 (Ek + etvk E), (62)

будто бы к энергии электрона в состоянии k добавилась величина

dEk = etvk E. (63)

Это в точности соответствует Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат традиционной ситуации, которая имела бы место, если б электрон со скоростью vk двигался в поле E в течение интервала времени t. Это замечание лежит в базе кинетического способа решения схожих задач. Дополнительная энергия, приобретаемая в промежутках меж столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости dv в направлении Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат поля; конкретно

dv(¶E/¶v) = evEt, (64)


либо для традиционной частички массы m

dv(¶E/¶v) = evEt / mv. (65)

Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна

J = nedv, (66)

и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим

s = ne2 t/m. (7.33)

Просто показать, что в случае свободного электрического газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципно существенно Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат лучше. Она указывает, что электропроводность зависит только от параметров электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Огромную электропроводность металлов следует разъяснять быстрее наличием маленький группы очень стремительных электронов на верхушке рассредотачивания Ферми, а не высочайшим значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать маленькую дрейфовую скорость.

Основная Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат формула (59) указывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми миниатюризируется в итоге взаимодействия с границами зоны, и учитывает воздействие решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты вправду можно следить в металлах типа Bi.

С другой стороны, формула кинетической теории (67) комфортна для полупроводников Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат. При всем этом под п следует осознавать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут

s = n|е|m (68)


где

m = |e|t/m (69)

есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны и дырки заносят независящие вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством

s = nh |е| mh + ne |е| me . (70)

Несложно Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве f° традиционную функцию рассредотачивания. При всем этом мы допускаем, что время релаксации t может зависеть от энергии; в формулу (69) нужно подставить его среднее значение

(71)

где N(E) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким макаром,

me = |e|te /me (7.38)

где те — действенная Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения - реферат масса электронов. Подобная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от температуры. С ростом T рассредотачивание размазывается и среднее время релаксации меняется. В случае металла то событие, что т находится в зависимости от энергии, не играет большой роли, ибо значительно только значение t (EF ).



opredelenie-temperaturnogo-rezhima-ustanovki.html
opredelenie-teploti-reakcii-okisleniya.html
opredelenie-terminov-po-genetike-i-molekulyarnoj-biologii.html