Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупы. Допустим, что из теоретических суждений удалось установить, какое конкретно рассредотачивание имеет признак. Появляется задачка оценки характеристик, которыми определяется это рассредотачивание. К примеру, если наперед понятно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупы по нормальному закону, то нужно оценить математическое ожидание и среднеквадратическое Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. отклонение, т. к. эти два параметра на сто процентов определяют обычное рассредотачивание. Если имеются основания считать, что признак имеет рассредотачивание Пуассона, то нужно оценить параметр , которым это рассредотачивание определяется. Обычно имеются только данные подборки, приобретенные в итоге наблюдений: , , ... , . Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая , , ... , как значения независящих случайных Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. величин , , ... , , можно сказать, что отыскать статистическую оценку неведомого параметра теоретического рассредотачивания - это означает отыскать функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Итак, статистической оценкой неведомого параметра теоретического рассредотачивания именуют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистическая оценка неведомого параметра генеральной совокупы одним числом именуется точечной. Ниже рассматриваются Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. последующие точечные оценки: смещенные и несмещенные, действенные и безбедные.

Для того, чтоб статистические оценки давали отличные приближения оцениваемых характеристик, они должны удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования. Пусть есть статистическая оценка неведомого параметра теоретического рассредотачивания. Допустим, что по выборке объема найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем их генеральной Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. совокупы другую подборку такого же объема и по ее данным найдем оценку и т. д. Получим числа , , ... , , которые будут различны меж собой. Таким макаром, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа , , ... , - как ее вероятные значения.

Если оценка дает приближенное значение с излишком, тогда отысканное по данным Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. выборок число ( ) будет больше настоящего значения . Как следует, и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины будет больше, чем , т. е. . Если дает приближенное значение с недочетом, то .

Таким макаром, внедрение статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к периодическим ошибкам. Потому необходимо востребовать, чтоб математическое ожидание Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. оценки было равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования избавляет периодические ошибки.

Несмещенной именуют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , т. е. .

Смещенной именуют статистическую оценку , математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Но неверно считать, что несмещенная оценка всегда дает не плохое приближение оцениваемого параметра. Вправду, вероятные значения Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. могут быть очень рассеяны вокруг собственного среднего значения, т. е. дисперсия величины может быть значимой. В данном случае отысканная по данным одной подборки оценка, к примеру, , возможно окажется очень удаленной от собственного среднего значения , а означает, и от самого оцениваемого параметра . Приняв в качестве приближенного значения , мы допустили Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. бы огромную ошибку. Если востребовать, чтоб дисперсия величины была малой, то возможность допустить огромную ошибку будет исключена. Потому к статистической оценке предъявляются требования эффективности.

Действенной именуют статистическую оценку, которая (при данном объеме подборки ) имеет меньшую вероятную дисперсию. При рассмотрении выборок огромного объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Безбедной именуют Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. К примеру, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и безбедной.

Разглядим вопрос о том, какие выборочные свойства идеальнее всего в смысле несмещенности, эффективности и состоятельности оценивают генеральную стреднюю и дисперсию.

Пусть изучается дискретная генеральная Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. совокупа относительно количественного признака. Генеральной средней именуется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупы. Она может быть вычислена по формулам либо , где - значения признака генеральной совокупы объема , - надлежащие частоты, при этом .

Пусть из генеральной совокупы в итоге независящих наблюдений над количественным признаком извлечена подборка объема со значениями признака . Выборочной средней Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. именуют среднее арифметическое выборочной совокупы. Она может быть вычислена по формулам либо , где - значения признака в выброчной совокупы объема , - надлежащие частоты, при этом .

Если генеральная средняя неведома и требуется оценить ее по данным подборки, то в качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю, которая является несмещенной Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. и безбедной оценкой. Отсюда следует, что если по нескольким подборкам довольно огромного объема из одной и той же генеральной совокупы будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны меж собой. В этом состоит свойство стойкости выборочных средних.

Заметим, что если дисперсии 2-ух совокупностей схожи, то близость выборочных средних к генеральным Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. не находится в зависимости от дела объема подборки к объему генеральной совокупы. Она находится в зависимости от объема подборки: чем объем подборки больше, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной.

Для того, чтоб охарактеризовать рассеяние значений количественного признака генеральной совокупы вокруг собственного среднего значения, вводят сводную характеристику - генеральную Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. дисперсию. Генеральной дисперсией именуют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупы от их среднего значения , которая рассчитывается по формулам: , либо .

Для того, чтоб охарактеризовать рассеяние наблюденных значений количественного признака подборки вокруг собственного среднего значения , вводят сводную характеристику - выброрчную дисперсию. Выборочной дисперсией именуют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюденных значений Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. признака от их среднего значения , которая рассчитывается по формулам: , либо .

Не считая дисперсии , для свойства рассеяния значений признака генеральной (выборочной) совокупы вокруг собственного среднего значения пользуются сводной чертой - средним квадратическим отклонением. Генеральным средним квадратическим отклонением именуют квадратный корень из генеральной дисперсии: . Выборочным средним квадратическим отклонением именуют квадратный корень Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. из выборочной дисперсии:

Пусть из генеральной совокупы в итоге независящих наблюдений над количественным признаком извлечена подборка объема . Требуется по данным подборки оценить неведомую генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к периодическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Разъясняется это тем Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки., что выборочная дисперсия является смещенной оценкой ; другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Просто поправить выборочную дисперсию так, чтоб ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Довольно для этого помножить на дробь . В итоге получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через . Исправленная дисперсия будет несмещенной Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. оценкой генеральной дисперсии: .

2. Интервальные оценки.

Вместе с точечным оцениванием статистическая теория оценивания характеристик занимается вопросами интервального оценивания. Задачку интервального оценивания можно сконструировать последующим образом: по данным подборки выстроить числовой нитервал, относительно которого с заблаговременно избранной вероятностью можно сказать, что снутри этого интервала находится оцениваемый параметр. Интервальное оценивание в особенности Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. нужно при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значимой мере случайна, как следует, не достаточно надежна.

Доверительным интервалом для параметра именуется таковой интервал, относительно которого можно с заблаговременно избранной вероятностью , близкой к единице, утверждать, что он содержит неведомое значение параметра , т. е. . Чем меньше для Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. избранной вероятности число , тем поточнее оценка неведомого параметра . И напротив, если это число велико, то оценка, произведенная при помощи данного интервала, не достаточно применима для практики. Потому что концы доверительного интервала зависят от частей подборки, то значения и могут изменяться от подборки к выборке. Возможность принято именовать доверительной вероятностью (надежностью). Обычно надежность Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. оценки задается наперед, при этом в качестве берут число, близкое к единице. Выбор доверительной вероятности не является математической задачей, а определяется определенной решаемой неувязкой. Более нередко задают надежность, равную ; ; .

Приведем без вывода доверительный интервал для генеральной средней при известном значении среднего квадратического отличия при условии, что случайная величина Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. (количественный признак ) распределена нормально:

,

где - наперед данное число, близкое к единице, а значения функции приведены в приложении 2.

Смысл этого соотношения заключается в последующем: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал ( ) покрывает неведомый параметр , точность оценки равна . Число определяется из равенства , либо . По таблице (приложение2) находят аргумент , которому соответствует значение функции Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. Лапласа, равное .

Пример 1. Случайная величина имеет обычное рассредотачивание с известным средним квадратическим отклонением . Отыскать доверительные интервалы для оценки неведомой генеральной средней по выборочным средним, если объем выборок и задана надежность оценки .

Решение. Найдем . Из соотношения получим, что . По таблице (приложение 2) находим . Найдем точность оценки . Доверительные интервалы Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. будут таковы: . К примеру, если , то доверительный интервал имеет последующие доверительные границы: ; . Таким макаром, значения неведомого параметра , согласующиеся с данными подборки, удовлетворяют неравенству .

Доверительный интервал для генеральной средней обычного рассредотачивания признака при неведомом значении среднего квадратического отличия задается выражением .

Отсюда следует, что с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неведомый параметр Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. .

Имеются готовые таблицы (приложение 4), пользуясь которыми, по данным и находят возможность , и назад, по данным и можно отыскать .

Пример 2. Количественный признак генеральной совокупы распределен нормально. По выборке объема найдена выборочная средняя и исправленное среднеквадратическое отклонение . Оценить неведомую генеральную среднюю с помощью доверительного интервала с надежностью .

Решение. Найдем . Пользуясь таблицей Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. (приложение 4) по и находим: . Найдем доверительные границы:

,

.

Итак, с надежностью неведомый параметр заключен в доверительном интервале .

3. Понятие статистической догадки. Общая постановка задачки проверки гипотез.

Проверка статистических гипотез плотно сплетена с теорией оценивания характеристик. В естествознании, технике, экономике нередко для выяснения того либо другого случайного факта прибегают к Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. выражению гипотез, которые можно проверить статистически, т. е. делая упор на результаты наблюдений в случайной выборке. Под статистическими догадками предполагаются такие догадки, которые относятся либо к виду, либо к отдельным характеристикам рассредотачивания случайной величины. Так, к примеру, статистической является догадка о том, что рассредотачивание производительности труда рабочих, выполняющих Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. схожую работу в схожих критериях, имеет обычный закон рассредотачивания. Статистической будет также догадка о том, что средние размеры деталей, производимые на однотипных, параллельно работающих станках, не различаются меж собой.

Статистическая догадка именуется обычный , если она совершенно точно определяет рассредотачивание случайной величины , в неприятном случае догадка именуется сложной. К примеру, обычной Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. догадкой является предположение о том, что случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Если высказывается предположение, что случайная величина имеет обычное рассредотачивание с дисперсией, равной единице, а математическое ожидание - число из отрезка , то это непростая догадка. Другим примером cложной догадки Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. является предположение о том, что непрерывная случайная величина с вероятностью воспринимает значение из интервала , в данном случае рассредотачивание случайной величины может быть хоть каким из класса непрерывных рассредотачиваний.

Нередко рассредотачивание величины понятно, и по выборке наблюдений нужно проверить догадки о значении характеристик этого рассредотачивания. Такие догадки именуются параметрическими.

Проверяемая догадка именуется нулевой Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. догадкой и обозначается . Вместе с догадкой рассматривают одну из других (конкурирующих) гипотез . К примеру, если проверяется догадка о равенстве параметра некому данному значению , т. е. : , то в качестве другой догадки можно разглядеть одну из последующих гипотез: : ; : ; : ; : , где - данное значение, . Выбор другой гтпотезы определяется определенной формулировкой задачки.

Правило Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки., по которому принимается решение принять либо отклонить догадку , именуется аспектом . Потому что решение принимается на базе подборки наблюдений случайной величины , нужно избрать подходящую статистику, именуемую в данном случае статистикой аспекта . При проверке обычный параметрической догадки : в качестве статистики аспекта выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра .

Проверка статистической Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. догадки основывается на принципе, в согласовании с которым маловероятные действия числятся неосуществимыми, а действия, имеющие огромную возможность, считяются достоверными. Этот принцип можно воплотить последующим образом. Перед анализом подборки фиксируется некая малая возможность , именуемая уровнем значимости. Пусть - огромное количество значений статистики , а - такое подмножество, что при условии истинности догадки Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. возможность попадания статистики аспекта в равна , т. е. .

Обозначим через выборочное значение статистики , вычисленное по выборке наблюдений. Аспект формулируется последующим образом: отклонить догадку , если ; принять догадку , если . Аспект, основанный на использовании заблаговременно данного уровня значимости, именуют аспектом значимости. Огромное количество всех значений статистики аспекта , при которых принимается решение отклонить догадку , именуется Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. критичной областью; область именуется областью принятия догадки .

Уровень значимости определяет размер критичной области . Положение критичной области на огромном количестве значений статистики находится в зависимости от формулировки другой догадки . К примеру, если проверяется догадка : , а другая догадка форимулируется как : ( ), то критичная область располагается на правом (левом) “хвосте” рассредотачивания статистики , т Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки.. е. имеет вид неравенства: ( ), где и - те значения статистики , которые принимаются с вероятностями соответственно и при условии, что верна догадка . В данном случае аспект именуется однобоким, соответственно правосторонним и левосторонним. Если другая догадка формулируется как : , то критичная область располагается на обоих “хвостах” рассредотачивания , т. е. определяется совокупой неравенств и Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. ; в данном случае аспект именуется обоесторонним.

Рис. 30

На рис. 30 показано размещение критичной области для разных других гипотез. Тут - плотность распределеиня статистики аспекта при условии, что верна догадка , - область принятия догадки, .

Таким макаром, проверка параметрической статистической догадки с помощью аспекта значимости может быть разбита на последующие этапы:

1) сконструировать проверяемую Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. ( ) и альтернативную ( ) догадки;

2) назначить уровень значимости ;

3) избрать статистику аспекта для проверки догадки ;

4) найти выборочное рассредотачивание статистики при условии, что верна догадка ;

5) зависимо от формулировки другой догадки найти критичную область одним из неравенств , либо совокупой неравенств и ;

6) получить подборку наблюдений и вычислить выборочные значения статистики аспекта;

7) принять статистическое решение: если Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. , то оклонить догадку как не согласующуюся с плодами наблюдений; если , то принять догадку , т. е. считать, что догадка не противоречит результатам наблюдений.

Обычно при выполнении п. п. 4 - 7 употребляют статистику, квантили которых табулированы: статистику с обычным рассредотачиванием, статистику Стьюдента, статистику Фишера.

Пример 3. По паспортным данным авто мотора расход Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. горючего на 100 км пробега составляет 10 л. В итоге конфигурации конструкции мотора ожидается, что расход горючего уменьшится. Для проверки проводятся тесты 25 случаем отобранных автомобилей с модернизированным движком, при этом выборочное среднее расходов горючего на 100 км пробега по результатам испытаний составило 9,3 л. Представим, что подборка расходов горючего получена из нормально распределенной Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. генеральной совокупы с средним и дисперсией . Испольуя аспект значимости, проверить догадку, утверждающую, что изменение конструкции мотора не воздействовало на расход горючего.

Решение. Проверяется догадка о среднем ( ) нормально распределенной генеральной совокупы. Проверку догадки проведем по шагам:

1) проверяемая догадка : , другая догадка : ;

2) выберем уровнь значимости ;

3) в качестве статистики аспекта используем статистику математического ожидания Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. - выборочное среднее;

4) т. к. подборка получена из нормально распределенной генеральной совокупы, выборочное среднее также имеет обычное рассредотачивание с дисперсией: . При условии, что верна догадка , математическое ожидание этого рассредотачивания равно . Нормированная статистика имеет обычное рассредотачивание;

5) другая догадка : подразумевает уменьшение расхода горючего, как следует, необходимо использовать однобокий аспект. Критичная область Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. определяется неравенством . По таблице (см. приложение 5) находим ;

6) выборочное значение нормированной статистики аспекта равно ;

7) статистическое решение: т. к. выборочное значение статистики аспекта принадлежит критичной области, догадка отклоняется: следует считать, что изменение конструкции мотора привело к уменьшению расхода горючего. Граница критичной области для начальной статистики аспекта может быть получена из соотношения , откуда Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. получаем, что , т. е. критичная область для статистики определяется неравенстсвом .

Решение, принимаемое на базе аспекта значимости, может быть неверным. Пусть выборочное значение статистики аспекта попадает в критичную область, и догадка отклоняется в согласовании с аспектом. Если, все же, догадка верна, то принимаемое решение ошибочно. Ошибка, совершаемая при отклонении правильной Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. догадки , именуется ошибкой первого рода. Разумеется, возможность ощибки первого рода равна вероятности попадания статистики аспекта в критичную область при условии, что верна догадка , т. е. равна уровню значимости :

. (11.1)

Ошибка второго рода происходит в этом случае, если догадка принимается, но в реальности верна догадка . Возможность ошибки второго рода можно Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. вычислить по формуле

. (11.2)

Пример 4. В критериях примера 3 представим, что вместе с догадкой : рассматривается другая догадка : . В качестве статистики аспекта опять возьмем выборочное среднее . Представим, что критичная область задана последующим неравенством . Отыскать вероятности ошибок первого и второго рода для аспекта с таковой критичной областью.

Решение. Найдем возможность ошибки первого рода. Статистика аспекта Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. при условии, что верна догадка : , имеет обычное рассредотачивание с математическим ожиданием, равным , и дисперсией, равной . По формуле (11.1), используя таблицу приложения 5, находим

.

Это значит, что принятый аспект систематизирует приблизительно 8% автомобилей, имеющих расход 10 л на 100 км пробега, как авто, имеющие наименьший расход горючего. При условии, что верна догадка : , статистика имеет обычное Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. рассредотачивание с математическим ожиданием, равным и дисперсией, равной . Возможность ошибки второго рода найдем по формуле (11.2):

.

Как следует, в согласовании с принятым аспектом 13,6% автомобилей, имеющих расход горючего 9 л на 100 км пробега, классифицируются как авто, имеющие расход горючего 10 л.

4. Теоретические и эмпирические частоты. Аспекты согласия.

Эмпирические частоты - частоты, приобретенные в итоге опыта Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки. (наблюдения). Теоретические частоты расcчитываются по формулам. Для обычного закона рассредотачивания их можно отыскать последующим образом:

, (11.3)


opredelenie-progiba-s-pomoshyu-integrala-mora.html
opredelenie-programmi-proekta-portfelya.html
opredelenie-proizvoditelnosti-ptl-mashini-podbor-mashin-dlya-vipolneniya-tehnologicheskih-operacij-i-opredelenie-ih-kolichestva.html