Определение производной. Дифференцирование функций

Министерство образования и науки Русской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего проф образования

«Брянская муниципальная инженерно-технологическая академия»

Кафедра арифметики

“Приложения производной функции одной реальной переменной”

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Брянск 2011


Министерство образования и науки Русской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего проф образования

«Брянская муниципальная инженерно Определение производной. Дифференцирование функций-технологическая академия»

Кафедра арифметики

УТВЕРЖДЕНЫ

Научно-методическим

Советом академии

Протокол № ____

oт “____”___________2011 г.

“ Приложения производной функции одной реальной переменной ”

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Брянск 2011

Создатели:

Антоненкова Ольга Евгеньевна

Баранова Ира Михайловна

Часова Наталья Александровна

Рецензент: доктор каф. физики, к. физ.-мат. наук Евтюхов К. Н.

Рассмотрены УМК Определение производной. Дифференцирование функций МТФ

Протокол № от


Содержание

Введение. 5

1. Определение производной. Дифференцирование функций. 6

2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали 7

3. Дифференцирование неявных функций. 9

4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 11

5. Производные и дифференциалы высших порядков. 13

6. Правило Лопиталя. 14

7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков 16

8. Нахождения большего и меньшего значений непрерывной функции на Определение производной. Дифференцирование функций отрезке 28

9. Задачки на отыскание больших и меньших значений величин. 29

Варианты заданий для РГР. 33

Литература. 44


Введение

Дифференциальное исчисление было сотворено Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на базе 2-ух задач:

1) о разыскании касательной к случайной полосы

2) о разыскании скорости при случайном законе движения

Еще ранее понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 – 1557 гг.) – тут Определение производной. Дифференцирование функций появилась касательная в процессе исследования вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается большая дальность полета снаряда.

В 17 веке на базе учения Г.Галилея о движении интенсивно развивалась кинематическая концепция производной. Разные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, британского ученого Л. Грегори. Большой Определение производной. Дифференцирование функций вклад в исследование дифференциального исчисления занесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.


Определение производной. Дифференцирование функций

Производной функцииу = f (x) именуется предел дела приращения функции к соответственному приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:

. (1)

Если этот предел конечный, то производная существует, а функция f (x) именуется дифференцируемой в точке Определение производной. Дифференцирование функций x. Производная обозначается либо ,либо Процесс нахождения производной именуется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования функций. Пусть С Î R– неизменная, и = и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.

1. С ' =0. 4. (Си)' =С ∙ u' .
2. (u ± v)' = и' ± v'. 5. .
3. (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’.

6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y = f (u) дифференцируема Определение производной. Дифференцирование функций по и, а функция и = φ (x) – по х, то непростая функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x) .

Таблица производных простых функций

1. 9. cos u× u¢
2. 10.
3. 11. (ctg u)
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8.

16. (логарифмическая производная).

2. Геометрические приложения производной.
Уравнения касательной и нормали

Геометрический смысл производной состоит в последующем: производная функции f(x) в точке х Определение производной. Дифференцирование функций0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х0; f(x0)), т.е. равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох (рис.1).

Если функция f дифференцируема в точке х0, то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .

Набросок 1 – Геометрическое приложение Определение производной. Дифференцирование функций производной.

Тогда уравнение касательной имеет вид

. (2)

Ровная, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная к касательной, именуется нормалью к графику функции в точке M0(x0;y0). Тогда , и, означает, уравнение нормали имеет вид

. (3)

Углом меж 2-мя кривыми в точке их скрещения именуется угол меж касательными к кривым в этой точке.

Угол меж Определение производной. Дифференцирование функций 2-мя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

, (4)

при этом символ “плюс” соответствует острому углу , а символ “минус”– тупому.

Если , то касательные – взаимно перпендикулярны, а кривые именуются ортогональными.

Пример 2.1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x0=1.

Решение. Уравнение касательной к Определение производной. Дифференцирование функций графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид (2).

Вычислим значение функции в данной точке: .

Найдем производную функции и ее значение в данной точке:

, .

Подставим отысканные значения в уравнение касательной:

, – уравнение касательной.

Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид (3).

Подставим Определение производной. Дифференцирование функций отысканные значения в это уравнение:

, – уравнение нормали.

Пример 2.2. Отыскать уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции – парабола. Потому что при , , то верхушкой параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная ровная с уравнением параллельны; означает их угловые коэффициенты равны: k1 = y Определение производной. Дифференцирование функций′1 , , . Как следует, x0 = 3 – абсцисса точки касания параболы и прямой , – ее ордината. Таким макаром, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).

Набросок 2 – Иллюстрация например 2.2.


opredelenie-soderzhaniya-hloridov-svyazannogo-hlora.html
opredelenie-soderzhaniya-valentnih-form-neptuniya.html
opredelenie-soderzhaniya-zheleza-v-fotosfere-solnca-statya.html