Определение прогиба с помощью интеграла Мора

Получение формулы интеграла Мора

Разглядим опору, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и , соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в данной опоре от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется найти прогиб балки ( ) в точке K.

Введем в рассмотрение вспомогательную опору (та же опора, но нагруженная только единичной силой или единичным Определение прогиба с помощью интеграла Мора изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где необходимо найти прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной опоре, обозначим и .

Воспользуемся сейчас аксиомой о взаимности работ, согласно которой работа наружных сил, приложенных к вспомогательной опоре на соответственных перемещениях данной балки равна взятой Определение прогиба с помощью интеграла Мора с оборотным знаком работе внутренних сил данной балки на соответственных перемещениях вспомогательной балки. Тогда .

При определении перемещений в опоре, обычно, можно третировать воздействием поперечной силы, ( не учесть 2-ое слагаемое).

Тогда, беря во внимание, что , совсем получим формулу интеграла Мора: .

Определение перемещений по формуле интеграла Мора нередко именуют определением Определение прогиба с помощью интеграла Мора перемещений способом Мора, а саму формулу – интегралом Мора.

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в случайном поперечном сечении и потому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы желаем в этой же точке K найти угол поворота поперечного сечения ( ), то нам нужно к вспомогательной опоре приложить Определение прогиба с помощью интеграла Мора не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).

порядок вычисления перемещений способом Мора:

· к вспомогательной опоре в той точке, где требуется найти перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота – единичный момент ;

· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов данной ( ) и вспомогательной Определение прогиба с помощью интеграла Мора ( ) балок;

· вычисляем интеграл Мора для всей балки по подходящим участкам;

· если вычисленное перемещение имеет положительный символ, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный символ показывает на то, что действительное направление искомого перемещения обратно направлению единичного усилия.

Вычисление интеграла Мора пример

Пусть для шарнирно Определение прогиба с помощью интеграла Мора опертой балки неизменной изгибной жесткости , длиной l, нагруженной умеренно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется найти прогиб посредине просвета ( ) и угол поворота на левой опоре ( ).

определение прогиба при помощи интеграла Мора

В том месте, где нам необходимо найти прогиб, к вспомогательной опоре прикладываем единичную силу (рис. 15.7, б).

Записываем выражения для изгибающих моментов Определение прогиба с помощью интеграла Мора для каждого из 2-ух участков ( ) данной и вспомогательной балок:

.

.

Вычисляем интеграл Мора. Беря во внимание симметрию балки, получим:

.


opredelenie-sk-po-grazhdanskim-delam-verhovnogo-suda-rf-ot-10-maya-2016-g-n-5-kg16-47.html
opredelenie-sk-po-grazhdanskim-delam-verhovnogo-suda-rf-ot-20-iyulya-2012g-n56-kg12-3.html
opredelenie-sk-po-grazhdanskim-delam-verhovnogo-suda-rf-ot-27-iyunya-2017-g-n-58-kg17-6.html