Определение предела функции в точке

Аксиома единственности предела функции в точке

3. Однобокие пределы, нужные и достаточные условия существования предела функции в точке

4. Характеристики функции, имеющей предел в точке

5. Предел функции на бесконечности

Введение

Предстоящее исследование интегро-дифференциального счисления нереально без осознания предела. Это понятие будет встречаться в протяжении не только лишь всего курса высшей арифметики, да и на других смежных дисциплинах. Осознание Определение предела функции в точке материала как этой, так и следующих лекций лежит в большей части в интуитивной области, но очень принципиально пристально изучить 1-ые два определения и осознать их геометрический смысл, они являются базисными в предстоящем.

Определение предела функции в точке

Определение предела

Определение 1.

Число b именуется пределом функции в точке , если для хоть Определение предела функции в точке какого сколь угодно малого положительного найдется другое положительное число , такое, что для всех x, может быть, не равных a и удовлетворяющих неравенству , производится условие . Обозначается

. (1)

Либо то же определение с внедрением сокращений .

Модуль значит, что , либо , как следует, . Если из удалить точку a, то получим проколотую дельта-окрестность (рис Определение предела функции в точке. 1).

Определение 2.

.

1.2. Геометрический смысл предела

Из определения предела следует, что , соответственно значения функции лежат в интервале . Поведение функции в точке на величину предела не оказывает влияние. Функция в этой точке может быть даже не определена.

ПРИМЕР 1.

Функция в точке . Но .

Принципиально!

На величину предела не оказывает влияние поведение функции Определение предела функции в точке в конечном числе точек дельта округи. Эти точки можно исключить и взять другую, наименьшую дельта-окрестность.

ПРИМЕР 2.

Обосновать, что . По определению можно отыскать , удовлетворяющих неравенству , следовало бы . Преобразуем неравенство в либо . Тогда для всех можно подобрать , другими словами справедливо.

Аксиома единственности предела функции в точке

Аксиома 1.

Если функция имеет предел Определение предела функции в точке в точке, то он единственный.

Подтверждение (от неприятного).

Представим, что и . Тогда, согласно определению предела, и . Примем за и = . Тогда справедливы оба догадки. Возьмем и оценим , т. е. – противоречие, как следует, предположение не правильно и предел единственный.

3. Однобокие пределы, нужные и достаточные

условия существования предела функции в точке

Обозначим – левая полуокрестность, т Определение предела функции в точке.е .

Обозначим – правая полуокрестность, т.е .

Определение 3.

Число b именуется левосторонним пределом функции в точке , если . Обозначается .

Определение 4.

Число b именуется правосторонним пределом функции в точке , если . Обозначается . Левосторонние и правосторонние пределы именуются однобокими.

Аксиома 2.

Для того чтоб функция имела предел, нужно и довольно, чтоб существовали левосторонний и правосторонний пределы и Определение предела функции в точке были равны меж собой.

Подтверждение.

Необходимость.

Дано: . Обосновать, что . По определению 2 следует, что следует (2). Возьмем , согласно (2) . Аналогично , согласно (2) .

Достаточность.

Дано: . Нужно обосновать, что . По условию и определению 3

. а по условию и определению 4 . Примем за . Тогда (рис. 2).

4. Характеристики функции, имеющей предел в точке

Аксиома 3.

Если функция имеет положительный предел в Определение предела функции в точке точке, то найдется округа точки, в какой функция положительна.

Подтверждение.

Из определения следует, что , удовлетворяющих неравенству . Как следует, либо . Возьмем - хоть какое положительное число. Тогда либо . Как следует, все значения в -окрестности точки a положительны ( ). То же для отрицательного предела.

Определение 5.

Функция - ограниченная на огромном количестве D если существует M Определение предела функции в точке>0, такое что для всех .

ПРИМЕР 3.

- ограничена на R, , на области определения не ограничена, а на отрезке - ограничена

Аксиома 4.

Если функция имеет конечный предел в точке, то она ограничена в некой округи этой точки.

Подтверждение.

Пусть , тогда по определению . Разумеется, что . Как следует, либо . Обозначим , тогда , т. е. функция Определение предела функции в точке ограничена.

Аксиома 5.

Если функция имеет конечный предел в точке, то ограничена в некой округи этой точки.

Подтверждение аналогично аксиоме 4.

5. Предел функции на бесконечности

Определение 6.

N–округой нескончаемо удаленной точки именуется огромное количество всех точек рас, стояние до которых большее N либо , либо . Обозначается

Определение 7.

Число b именуется пределом Определение предела функции в точке функции на бесконечности , если для . Обозначается

. (3)

Замечание!

Потому что принципного различия меж определениями 7 и 1, 2 нет, то все рассмотренные аксиомы можно отнести к функциям, имеющим предел на бесконечности.

Заключение

В заключении принципиально отметить, что предел – это абстрактное понятие, записанное серьезным математическим языком, т. е. предел – это то значение, к которому стремится функция Определение предела функции в точке, при этом она его может никогда не достигнуть (функция в этой точке может не существовать). Отметим, что предел функции в точке можно осознавать как бесконечность вселенной и времени.

Отметим, что:

- предел – это абстракция, к которой что-то стремиться;

- функция ограничена в округах, где она имеет предел;

- однобокие пределы Определение предела функции в точке могут быть не равными, т.е. может быть разрыв;

- подтверждение всех теорем о границах базируется на базовом определении самого предела;

- функция может быть ограничена на бесконечности;

- всегда можно взять дельта-окрестность меньше той, которая дана.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.

2. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 1 – М.: Лань, 2002, - 448 с Определение предела функции в точке.

3. Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной». – СПб.: Лань, 1999, - 560 с.


opredelenie-radiusa-krivizni-linzi.html
opredelenie-raschetnih-harakteristik.html
opredelenie-raschetnih-staticheskih-harakteristik.html